SISTEMA GRACELI - DINÂMICO ESTATÍSTICO QUÂNTICO [6]

A hipótese de De Broglie

Em 1924, Louis-Victor de Broglie formulou a hipótese de Broglie, alegando que toda matéria^[15]^[16] tem uma natureza ondulatória, ele relacionou comprimento de onda e momento:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$\lambda ={\frac {h}{p}}$

Esta é uma generalização da equação de Einstein acima, uma vez que o momento de um fóton é dado por

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$p={\frac {E}{c}}$ ,

onde c é a velocidade da luz no vácuo.

A fórmula de De Broglie foi confirmada três anos depois para elétrons com a observação da difração de elétrons em dois experimentos independentes. Na Universidade de Aberdeen, George Paget Thomson passou um feixe de elétrons através de um fino filme de metal e observou os padrões de interferência previstos. No Bell Labs, Clinton Joseph Davisson e Lester Halbert Germer guiaram o feixe de elétrons através de uma grade cristalina em seu experimento popularmente conhecido como experimento Davisson-Germer.

De Broglie foi agraciado com o Prêmio Nobel de Física em 1929 por sua hipótese. Thomson e Davisson dividiram o Prêmio Nobel de Física em 1937 por seu trabalho experimental.

Pode-se exprimir o princípio da incerteza nos seguintes termos:

O produto da incerteza associada ao valor de uma coordenada x_i e a incerteza associada ao seu correspondente momento linear p_i não pode ser inferior, em grandeza, à constante reduzida de Planck.^[6] Em termos matemáticos, exprime-se assim:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\Delta x_{i}\Delta p_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}

\Delta x_{i}\Delta p_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}

onde $\hbar$ é a Constante de Planck (h) dividida por 2π.

A explicação disso não é fácil de se entender, e fala mesmo em favor da intuição, embora o raciocínio clássico e os aspectos formais da análise matemática tenham levado os cientistas a pensarem diferentemente por muito tempo. Quando se quer encontrar a posição de um elétron, por exemplo, é necessário fazê-lo interagir com algum instrumento de medida, direta ou indiretamente. Por exemplo, faz-se incidir sobre ele algum tipo de radiação. Tanto faz aqui que se considere a radiação do modo clássico - constituída por ondas eletromagnéticas - ou do modo quântico - constituída por fótons. Caso se queira determinar a posição do elétron, é necessário que a radiação tenha comprimento de onda da ordem da incerteza com que se quer determinar a posição.^[7]

Neste caso, quanto menor for o comprimento de onda (maior frequência), maior será a precisão. Contudo, maior será a energia cedida pela radiação (onda ou fóton) em virtude da relação de Planck entre energia e frequência da radiação

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

E=h\cdot \nu

E=h\cdot \nu

e o elétron sofrerá um recuo tanto maior quanto maior for essa energia, em virtude do efeito Compton. Como consequência, a velocidade sofrerá uma alteração não de todo previsível, ao contrário do que afirmaria a mecânica clássica.

Argumentos análogos poderiam ser usados para se demonstrar que, ao medir-se a velocidade com precisão, alterar-se-ia a posição de modo não totalmente previsível.

A interação spin-órbita (mecânica quântica)

Na inclusão introdutória do spin na função de onda de Schrodinger, supõe-se que as coordenadas do spin são independentes das coordenadas do espaço de configuração.^[2]

Assim, a função de onda total é escrita como uma função de produto.

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$\Psi _{\text{total}}=\psi _{nlm}(r,\theta ,\phi ).\chi (spin).e^{-iE_{n}t/\hbar }$

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$\Psi _{\text{total}}={\Bigg |}R_{nl}.e^{-i.E_{n}{\frac {t}{\hbar }}}{\Bigg \rangle }.|l,m\rangle .|s,m_{s}\rangle$

$\Psi _{\text{total}}={\Bigg |}R_{nl}.e^{-i.E_{n}{\frac {t}{\hbar }}}{\Bigg \rangle }.|l,m\rangle .|s,m_{s}\rangle$ (P)

A suposição feita acima implica que não existe interação entre L e S, i.e

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$\lfloor {\hat {L}},{\hat {S}}\rfloor =0$

Neste caso, $\scriptstyle \Psi _{\text{total}}$ é uma auto-função de ambos $\scriptstyle L_{z}$ e $\scriptstyle S_{z}$ e portanto $\scriptstyle m_{l}$ e $\scriptstyle m_{s}$ são bons números quânticos; em outras palavras, as projeções de $\scriptstyle {\vec {L}}$ e $\scriptstyle {\vec {S}}$ são constantes do movimento.

Mas na verdade existe uma interação entre $\scriptstyle {\vec {L}}$ e $\scriptstyle {\vec {S}}$ chamada interação Spin-Órbita expressa em termos da grandeza $\scriptstyle {\vec {L}}.{\vec {S}}$ .

Dado que $\scriptstyle {\vec {L}}.{\vec {S}}$ não comuta quer com $\scriptstyle {\vec {L}}$ ou com $\scriptstyle {\vec {S}}$ , a equação (P) torna-se incorreta e $\scriptstyle m_{l}$ e $\scriptstyle m_{s}$ deixam de ser bons números quânticos.

Nós imaginamos a interação spin-órbita como o momento magnético spin estacionária interagindo com o campo magnético produzido pelo núcleo orbitante.

No sistema de referência de repouso do electrão, há um campo eléctrico

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

${\vec {\varepsilon }}={\frac {Ze}{r^{2}}}{\hat {r}}$

Onde $\scriptstyle {\hat {r}}$ dirige‐se do núcleo em direção ao electrão.

Assumindo que $\scriptstyle {\vec {v}}$ é a velocidade do electrão no sistema de referência de repouso do núcleo, a corrente produzida pelo movimento nuclear é:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

${\vec {j}}=-{\frac {Ze}{c}}{\vec {v}}$

No sistema de referência de repouso do electrão.

Portanto

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

${\vec {H}}_{e}=-{\frac {Ze}{c}}{\frac {{\vec {v}}\wedge {\hat {r}}}{r^{2}}}=-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}$

O momento de spin do electrão realiza um movimento precessional neste campo com frequência de Larmor:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

${\vec {\omega }}_{e}=\gamma {\vec {H}}_{e}=-{\frac {e}{m_{0}c^{2}}}{\vec {v}}\wedge \varepsilon$

Com energia potencial

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$E_{e}=-{\vec {\mu }}_{s}.{\vec {H}}_{e}=-{\vec {\omega }}_{e}.{\vec {S}}$

As equações acima são válidas no quadro de referência de repouso electrão.

A Transformação para o sistema de referência de repouso do núcleo introduz um fator de ½ - chamado o fator de Thomas. [Isto pode ser mostrado, calculando o tempo dilatado entre os dois sistemas de referência em repouso].^[2]

Portanto, um observador no sistema de referência de repouso do núcleo poderia observar o electrão a realizar um movimento de precessão com uma velocidade angular de

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

${\vec {\omega }}_{L}=-{\frac {e}{2m_{0}c^{2}}}{\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}$

${\vec {\omega }}_{L}=-{\frac {e}{2m_{0}c^{2}}}{\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}$ (T)

e por uma energia adicional dada por

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$\Delta E=-{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{e}.{\vec {S}}$

As duas Eqs acima podem ser colocadas em uma forma mais geral, restringindo o V ser qualquer potencial central com simetria esférica.

De forma que

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

${\vec {F}}=-{\hat {r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}=e{\vec {\varepsilon }}$

e então

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

${\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}={\frac {1}{e}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {v}}\wedge {\vec {r}}={\frac {1}{em_{0}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}$

A equação (T) torna-se então

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

${\vec {\omega }}_{L}=+{\frac {1}{2m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}$

E a energia adicional

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$\Delta E=+{\frac {1}{2m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}.{\vec {S}}$

O produto escalar

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

${\vec {L}}.{\vec {S}}=m\hbar s$

Para spin = ½

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

${\vec {L}}.{\vec {S}}=m\hbar .{\frac {1}{2}}\hbar ={\frac {1}{2}}m\hbar ^{2}$

A separação energética se torna então

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$|\Delta E|={\frac {\hbar ^{2}m}{4m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}$

Para o potencial de Coulomb a separação energética pode ser aproximada por:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$\Delta E={\frac {\lambda _{c}^{2}mZe^{2}}{r^{3}}}$

Onde

$\lambda _{c}={\frac {h}{m_{o}c}}$

é o comprimento de onda de Compton

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$\lambda _{c}={\frac {h}{m_{o}c}}$

$\lambda _{c}={\frac {h}{m_{o}c}}$ ou ${\frac {\lambda _{c}}{2\pi }}$

Um resultado útil no cálculo é citado sem prova. O valor médio de $\scriptstyle {\frac {1}{r^{3}}}$ i.e.

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

${\Bigg \langle }{\frac {1}{r^{3}}}{\Bigg \rangle }={\frac {Z^{2}}{a_{o^{2}}n^{2}l{\Bigg (}l+{\frac {1}{2}}{\Bigg )}(l+1)}}$

para $\scriptstyle l\neq 0$

De modo que a separação energética se torna

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$\Delta E={\frac {{\bar {\lambda }}_{c}^{2}m_{i}Z^{3}e}{a_{0}^{2}n^{2}l(l+1/2)(l+1)}}$

para $\scriptstyle l\neq 0$

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