SISTEMA GRACELI - DINÂMICO ESTATÍSTICO QUÂNTICO [6]

Em matemática, no estudo de funções iteradas e sistemas dinâmicos, um ponto periódico de uma função é um ponto ao qual o sistema retorna depois de um certo número de iterações de função ou um certo período de tempo.^[1]^[2]

Funções iteradas

Dado um endomorfismo f em um conjunto X

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

f:X\to X

um ponto x em X é chamado ponto periódico, se existe um n para que

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\ f_{n}(x)=x

onde $f_{n}$ é a enésima iteração de f. O menor inteiro positivo n, satisfazendo o acima, é chamado de período primo ou menor período do ponto x. Se cada ponto em X é um ponto periódico com o mesmo período n, então f é chamado periódico com o período n. Se existem n e m distintos tais que

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

f_{n}(x)=f_{m}(x)

então x é chamado de ponto pré-periódico. Todos os pontos periódicos são pré-periódicos.

Se f é um difeomorfismo de uma variedade diferenciável, de modo que a derivada $f_{n}^{\prime }$ é definida, então diz-se que um ponto periódico é hiperbólico se

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

|f_{n}^{\prime }|\neq 1,

que é atraente se

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

|f_{n}^{\prime }|<1,

e é "repelente" se

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

|f_{n}^{\prime }|>1.

Se a dimensão do variedade estável^[3]^[4] de um ponto periódico ou ponto fixo for zero, o ponto é chamado de fonte; se a dimensão de sua variedade instável é zero, ela é chamada de variedade; e se tanto a variedade estável quanto a instável tiverem uma dimensão diferente de zero, ele é chamado de ponto de sela ou a sela.^[5]^[6]

Movimento do centro de massa (1.º problema de um corpo)

Seja $\mathbf {R}$ a posição do centro de massa (baricentro) do sistema. A adição das equações de força (1) e (2) produz

m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {R} }}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0

onde usamos a terceira lei de Newton $F 12 = - F 21$ e onde

{\ddot {\mathbf {R} }}\equiv {\frac {m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.

A equação resultante:

{\ddot {\mathbf {R} }}=0

mostra que a velocidade $\mathbf {v} ={\frac {dR}{dt}}$ do centro de massa é constante, do que se segue que o momento total $m 1 v 1 + m 2 v 2$ também é constante (conservação do momento). Assim, a posição $R (t)$ do centro de massa pode ser determinada em todos os momentos a partir das posições e velocidades iniciais.

Movimento vetorial de deslocamento (2.º problema de um corpo)

Dividindo ambas as equações de força pelas respectivas massas, subtraindo a segunda equação da primeira, e reorganizando dá a equação

{\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}

onde usamos novamente a terceira lei de Newton $F 12 = - F 21$ e onde $r$ é o vetor de deslocamento da massa 2 para a massa 1, conforme definido acima.

A força entre os dois objetos, que se origina nos dois objetos, deve ser apenas uma função de sua separação $r$ e não de suas posições absolutas $x 1$ e $x 2$ ; caso contrário, não haveria simetria translacional e as leis da física teriam que mudar de lugar para lugar. A equação subtraída pode, portanto, ser escrita:

\mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} )

onde $\mu$ é a massa reduzida

\mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.

Resolver a equação para $r (t)$ é a chave para o problema de dois corpos. A solução depende da força específica entre os corpos, que é definida por $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ . Para o caso em que $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ segue uma lei do inverso quadrado, veja o problema de Kepler.

Uma vez que $R (t)$ e $r (t)$ tenham sido determinados, as trajetórias originais podem ser obtidas

\mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {R} (t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)

\mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {R} (t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)

como pode ser verificado substituindo as definições de $R$ and $r$ no lado direito dessas duas equações.

A transferência de massa é o processo de transporte onde existe a migração de uma ou mais espécies químicas em um dado meio, podendo esse ser sólido, líquido ou gasoso. O transporte das espécies químicas pode ser feito por dois mecanismos: difusão e/ou convecção. A difusão deve-se à diferença de potenciais químicos das espécies, ou seja, à diferença de concentrações entre dois locais num dado sistema. A convecção deve-se às condições de escoamento de um sistema, por exemplo, líquido em movimento sobre uma placa.

Alguns exemplos de aplicação deste fenômeno são o endurecimento de aços, o tempo total para ocorrer uma dada reação química em um leito reativo e a operação de filtragem utilizando membranas.

Equação diferencial da transferência de massa difusiva

A lei da conservação de mols de um componente A estabelece que:

${\Bigr \{}$ Taxa de mols de A que entra ${\Bigr \}}$ - ${\Bigr \{}$ Taxa de mols de A que sai ${\Bigr \}}$ + ${\Bigr \{}$ Taxa de geração molar de A ${\Bigr \}}$ = ${\Bigr \{}$ Taxa de acúmulo de A ${\Bigr \}}$

Desse modo a equação segue:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$
$G_{\mu \nu }\$
$\psi ^{*}$

$N_{A,x}dydz|_{x}-N_{A,x}dydz|_{x+dx}+N_{A,y}dxdz|_{y}-N_{A,y}dxdz|_{y+dy}+N_{A,z}dxdy|_{z}-N_{A,z}dxdy|_{z+dz}+R_{A}dxdydz={\frac {\partial C_{A}}{\partial t}}dxdydz$

Dividindo por $� � � � � �$ e aplicando os limites $\lim _{dx\to 0}$ , $\lim _{dy\to 0}$ e $\lim _{dz\to 0}$ .

Esquema para Lei da Conservação

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$
$G_{\mu \nu }\$
$\psi ^{*}$

$-{\frac {\partial N_{A,x}}{\partial x}}-{\frac {\partial N_{A,y}}{\partial y}}-{\frac {\partial N_{A,z}}{\partial z}}+R_{A}={\frac {\partial C_{A}}{\partial t}}$

Logo a equação diferencial governante é:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$
$G_{\mu \nu }\$
$\psi ^{*}$

$-\nabla .N_{A}+R_{A}={\frac {\partial C_{A}}{\partial t}}$

$\nabla .N_{A}+{\frac {\partial C_{A}}{\partial t}}-R_{A}=0$

Onde:

$N_{A}=$ Fluxo molar de $�$

$R_{A}=$ Taxa molar de geração volumétrica de $�$

Em unidades mássicas a equação é representada da seguinte forma:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$
$G_{\mu \nu }\$
$\psi ^{*}$

$\nabla .n_{A}+{\frac {\partial \rho _{A}}{\partial t}}-r_{A}=0$

Onde:

$n_{A}=$ Fluxo mássico de $�$

$r_{A}=$ Taxa mássica de geração volumétrica de $�$

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